Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22.18. Последний множитель.

Рассмотрим приложение теоремы Якоби о последнем множителе (§ 21.9) к автономным гамильтоновым системам. Для системы Гамильтона единица является множителем, причем простейшим. Рассмотрим сначала вопрос об определении траекторий. Теорема утверждает, что если известны интегралов системы

и если с помощью этих интегралов задача сведена к интегрированию одного уравнения

то интегрирующий множитель определяется из правила Якоби.

Применим этот результат к исследованию автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Рассмотрим систему уравнений

где

Если известны три интеграла уравнений (22.18.3), то можно определить траектории изображающей точки в фазовом пространстве. Один такой интеграл нам известен: это — интеграл Якоби Допустим, что мы знаем еще один пространственный интеграл где

Правило Якоби дает тогда возможность найти третий интеграл. Мы увидим, что это можно проделать весьма изящным образом.

Рассмотрим в области фазового пространства два известных интеграла:

причем предполагается, что и что якобиан

не обращается в области в нуль. Правило Якоби дает третий интеграл:

где коэффициенты в подынтегральной функции выражены через Предположим, что уравнения (22.18.4) разрешены относительно

Подставляя эти выражения в уравнения (22.18.4) и дифференцируя по а полученные тождества, находим

Отсюда

и третий интеграл (22.18.6) принимает вид

Следовательно, форма Пфаффа

от является полным дифференциалом, что нетрудно доказать непосредственно, не прибегая к теореме Якоби. В самом деле, заменим в равенствах (22.18.4) их выражениями через функции и продифференцируем полученные тождества по Проделав это, получим

Исключая из этих уравнений получаем

Аналогичным образом находим

Следовательно,

При выводе этого равенства мы использовали тот факт, что скобка Пуассона обращается в нуль, так как есть интеграл уравнений.

Таким образом, форма есть точный дифференциал функции К,

так что третий интеграл можно записать в виде

Определение траекторий, таким образом, закончено. Однако в рассматриваемой задаче можно пойти дальше и построить еще один, четвертый интеграл, который, разумеется, будет зависеть от t. Рассуждая подобно тому, как мы это делали при выводе соотношения (22.18.9), находим

Приравнивая выражения (22.18.3) дифференциалу времени получаем

и находим четвертый интеграл системы Гамильтона

Итак, разрешая уравнения (22.18.4) относительно мы можем составить линейную форму которая будет точным дифференциалом тогда остальные интегралы будут иметь вид

Полученное решение весьма примечательно. Оно имеет в точности такую же форму, какая получается при решении задачи с помощью теоремы Гамильтона — Якоби. Связь между двумя этими способами решения обусловлена тем, что есть полный интеграл модифицированного уравнения в частных производных (16.5.6).

Во многих конкретных приложениях вторым интегралом является интеграл количества движения, соответствующий циклической координате . В этом случае исходными известными интегралами являются

и

Функция находится из решения уравнения

относительно

Два остальных интеграла определяются с помощью только что доказанной теоремы; они имеют вид

Пример 22.18А. Центральная орбита; применение полярных координат. Для этой задачи

где Имеем интегралы энергии и момента количества движения: функция имеет вид

С помощью интегралов (22.18.26) находим известные формулы

полученные нами ранее в примере

Пример 22.18В. Центральная орбита; применение декартовых координат. Получим теперь решение этой задачи в декартовых координатах, воспользовавшись правилом Якоби. Имеем

Здесь введены вместо Известными интегралами будут

Согласно доказанной выше теореме, если разрешить эти уравнения относительно подставить их в выражение и то мы получим точный дифференциал остальные интегралы тогда будут иметь вид (22.18.21).

Рассмотрим выражение которое обозначим через у. Тогда будем иметь

Формулы для и получаются, если у выразить через х, Имеем

Используя (22.18.31), получаем

Теперь находим

где через обозначено Окончательно получаем

что совпадает с полученным ранее решением.

Пример Сферический маятник. Пользуясь сферическими координатами (см. § 5.3) и опуская постоянное слагаемое в выражении для получаем

где Известными интегралами будут

Пользуясь обозначением (22.18.25), запишем функцию в виде

Функция К будет иметь вид

Интегралы (22.18.26) примут форму

Полученные результаты совпадают с формулами § 5.3. (Чтобы в этом убедиться, достаточно вместо написать

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление