Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22.15. Метрическая неразложимость.

Мы видели, что предел

существует почти для всех точек инвариантной области и что функция постоянна вдоль траектории. Как уже указывалось, при определенных условиях функция сохраняет постоянное значение во всей области,

но примеры § 22.10 показывают, что в классической механике это, вообще говоря, не имеет места. В этом параграфе мы рассмотрим условия, которые должны выполняться для того, чтобы функция была постоянна в области

Будем называть инвариантную область метрически неразложимой, если ее нельзя представить в виде

где инвариантные области не имеют общих точек и обладают положительной мерой. Докажем, что если область метрически неразложима, то 1) функция почти всюду в постоянна и 2) величина этой постоянной определяется выражением

Важность последнего результата состоит в том, что среднее по времени значение на характеристике заменяется средним по пространству (по области

Докажем сначала, что функция почти всюду в области постоянна. Разделим вещественную ось х на отрезки

считая к целым числом (не обязательно положительным). Будем называть такой отрезок существенным отрезком, если множество точек области , для которых значения принадлежат отрезку, имеет положительную меру. Если для любого существует только один существенный отрезок то отрезок содержится в и последовательность отрезков имеет единственную общую точку а. При этом почти всюду в области . С другой стороны, если для некоторого можно указать два существенных отрезка, то найдется число обладающее тем свойством, что область может быть разделена на две части и такие, что для точек будем иметь а для точек будем иметь Но множества представляют собой инвариантные области, не имеющие общих точек, поскольку функция постоянная на характеристике. Таким образом, мы пришли к противоречию с предположением о метрической неразложимости области Следовательно, функция постоянна во всей области т. е.

почти для всех точек

Остается доказать, что где

Интуитивно это ясно. Нетрудно получить и формальное доказательство. Для этого заметим прежде всего, что для любого положительного

Но так как является инвариантной областью, то в силу теоремы Лиувилля имеем

и из формул (22.15.7) и (22.15.8) находим

Таким образом, интеграл фактически не зависит от чтобы доказать равенство , достаточно показать, что интеграл

стремится к нулю при но поскольку он не зависит от то его значение может быть только нулем.

Возьмем некоторое положительное число Пусть множество точек области такое, что

множество точек области такое, что

При этих условиях будем иметь

Разность а При стремится к нулю почти для всех точек области и так как сходимость почти всюду означает сходимость по мере, то когда

Для последнего слагаемого в правой части (22.15.13) имеем оценку

где через обозначена область, в которую переходит область за время t. Но стремится к нулю, когда так что интеграл при достаточно большом может быть сделан меньше Окончательно получаем, что существует такое число что при

и, следовательно, при

Так как левая часть не зависит от то она может равняться только нулю, что и завершает доказательство.

Условие метрической неразложимости существенно для постоянства функции в области Простым примером, в котором это условие заведомо не выполняется, может служить гармонический осциллятор, рассмотренный в § 22.10. Возьмем какую-либо концентрическую окружность радиуса тогда область разделится на две инвариантные области каждая ненулевой меры. Как уже указывалось, в этом примере функция постоянна вдоль характеристик, но не постоянна во всей области

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление