Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22.12. Собственные отрезки.

Введем понятие собственного отрезка, точнее, собственного отрезка точки для числа (см. леммы 1 и 2). Возьмем точку множества К, и пусть а — целое число, положительное, отрицательное или нуль. Рассмотрим числа Если есть первое из этих чисел, превышающее то отрезок мы будем называть собственным отрезком точки Таким образом, собственный отрезок обладает тем свойством, что

где с — любое целое число, заключенное между

Лемма 3. Два собственных отрезка и точки не могут частично перекрывать друг друга. Допустим, например, что Тогда мы имели бы

Но это невозможно, поскольку левая часть больше, чем а правая часть меньше (или равна), чем

Собственный отрезок точки мы будем называть максимальным отрезком ранга если его длина не превышает и если он не содержится ни в каком другом собственном отрезке точки длина которого не превышает

Лемма 4. Всякий собственный отрезок, длина которого не превышает содержится в одном и только в одном максимальном собственном отрезке ранга Для доказательства заметим, что среди всех собственных отрезков, длина которых не превышает и которые содержат данный отрезок, имеется один отрезок максимальной длины. Ясно, что этот отрезок и есть максимальный отрезок ранга Существует лишь один такой отрезок; если бы их было два, то они имели бы общие точки, поскольку оба они содержат заданный отрезок. Но в этом случае либо один из них содержался бы в другом и потому не был бы максимальным отрезком ранга либо они имели бы общую часть, что, как мы видели, невозможно. Таким образом, лемма доказана.

Лемма 5. Для того чтобы точка принадлежала множеству необходимо и достаточно, чтобы эта точка имела максимальный отрезок ранга такой, что а

Необходимость условия. Пусть и есть наименьшее целое положительное число, для которого так что Тогда отрезок будет собственным отрезком точки и единственный максимальный отрезок ранга который содержит его, удовлетворяет условиям леммы.

Достаточность условия. Предположим, что точка имеет максимальный отрезок ранга такой, что а Докажем, что Отсюда будет вытекать, что поскольку

Если то неравенство немедленно следует из того, что отрезок является собственным отрезком точки Предположим, что

Если то существует собственный отрезок и он частично перекрывает отрезок Но это невозможно в силу леммы 3. Следовательно, и лемма, таким образом, доказана,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление