Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22.4. Использование известного интеграла.

В § 21.2 мы видели, что известный интеграл можно использовать для понижения порядка системы уравнений, т. е. первоначальную систему уравнений можно заменить другой, с числом зависимых переменных на единицу меньше. Если первоначальная система уравнений имеет гамильтонову форму, то можно не только понизить порядок системы, но также и сохранить гамильтонову форму уравнений. Точнее, уравнений новой системы будут иметь форму Гамильтона, а одно уравнение — не будет.

В качестве простого примера рассмотрим интеграл количества движения, соответствующий некоторой циклической координате. Предположим, что функция не зависит от координаты

Тогда величина остается в процессе движения постоянной:

и система приводится к гамильтоновой с зависимыми переменными:

Функция И получается из если в последней положить равным Кроме того, мы имеем еще одно уравнение, связывающее координату и время а именно

Если система автономна, то для понижения порядка системы можно использовать интеграл энергии

Предположим, что координата не является циклической, и пусть уравнение (22.4.4) может быть разрешено относительно

Если эту функцию подставить в соотношение (22.4.4), то получим тождество. Дифференцируя его частным образом по получаем

Следовательно,

Аналогично, подставляя функцию вместо в соотношение дифференцируя по находим

Отсюда

Таким образом, функцию можно взять в качестве новой функции Гамильтона с зависимыми переменными и независимой переменной (роль которой обычно выполняет время Новая система уравнений не является автономной, поскольку функция содержит новую независимую переменную. Остающимся уравнением является уравнение энергии в форме (22.4.4) или (22.4.5).

Практически преимущества этого метода проявляются тогда, когда функция линейным образом зависит от В качестве простого примера рассмотрим случай, когда

Здесь х, у — лагранжевы координаты, положительные постоянные. Если уравнение разрешить относительно х и получить то будем иметь

Функцию можно взять в качестве гамильтоновой функции для системы с одной степенью свободы; зависимыми переменными будут а независимой переменной будет Уравнения будут иметь вид

Решение этих уравнений элементарно. Из (22.4.12) и (22.4.13) получаем

откуда находим

Выражение для у получаем из (22.4.13). На этом решение второй задачи (нахождение как функций заканчивается. Для решения исходной задачи имеем

Для находим (Непосредственное решение также элементарно.)

Аналогичным образом, если разрешить уравнение например, относительно то получим

Рассуждая подобно тому, как это мы делали выше, легко показать, что функцию можно взять в качестве гамильтоновой функции новой системы со степенями свободы и с независимой переменной

Но так как есть уравнение второй степени относительно то выражение для содержит иррациональность и потому не очень удобно. Если бы исходная функция Гамильтона не содержала то эта переменная не вошла бы и в выражение для и в результате новая система имела бы «интеграл энергии»

Этот новый интеграл представляет собой, разумеется, интеграл количества движения, соответствующий циклической координате

Доказанные выше теоремы о понижении порядка уравнений с помощью интеграла энергии можно получить и другим способом, который представляет самостоятельный интерес. Этот способ основан на теореме эквивалентности (§ 16.3). Для определенности остановимся на первом из рассмотренных выше случаев, когда новая функция Гамильтона получается путем решения уравнения относительно переменной (см. (22.4.5)).

Если задачу рашать с помощью теоремы Гамильтона — Якоби, то в решение войдут параметров где есть постоянная энергия постоянная связанная с началом отсчета времени (§ 16.5). Тогда будем иметь

или, что то же,

Будем теперь рассматривать не все возможные движения, а только такие, для которых постоянная энергии имеет одно и то же значение; таким образом, она будет играть роль абсолютной постоянной. Все рассматриваемые траектории будут располагаться на многообразии и это многообразие теперь будет объектом нашего рассмотрения вместо всего фазового пространства. Имеем

Согласно теореме эквивалентности переменные удовлетворяют уравнениям Гамильтона с гамильтоновой функцией и независимой переменной (вместо Функцию надлежит представить в форме (22.4.5) с помощью уравнения Таким путем мы снова придем к желаемому результату.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление