Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21.3. Оператор Tt

Рассмотрим автономную систему. Характеристики, представляемые уравнениями (21.1.5), определяют преобразование а в зависящее от

Оператор преобразует точку а, занимаемую изображающей точкой в момент в точку х, занимаемую изображающей точкой в момент t. Предполагается, что якобиан

не обращается в нуль ни при одном допустимом значении (Ниже мы увидим, что в важном частном случае уравнений Гамильтона этот якобиан имеет значение, равное единице.) Рассмотрим подобласть области (соответствующей уравнениям (21.1.4)), и пусть а Тогда преобразование при достаточно малых t определит топологическое отображение на область Оператор будет определять тождественное преобразование, а оператор обратное преобразование, отображающее область на Два последовательных преобразования, задаваемые операторами обладают свойством коммутативности и эквивалентны одному преобразованию, осуществляемому оператором

Кроме того, оператор обладает свойством ассоциативности:

Таким образом, мы имеем непрерывную однопараметрическую группу преобразований пространства х в себя.

В важном частном случае уравнений Гамильтона переменных группируются в пар и соответствующее преобразование, обладающее особыми свойствами, называется контактным преобразованием. Преобразования этого вида будут рассмотрены нами в гл. XXIV.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление