Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19.6. Движение в окрестности особой точки. Общая теория.

Перейдем теперь к общей теории движения в окрестности изолированной особенности поля Поместим начало координат, как и в § 19.4, в особую точку. Тогда

уравнения запишутся в форме

Здесь вместе с

Обозначим через поле, определяемое одними только линейными членами:

Вблизи точки О поле мало отличается от точнее, при где угол между Это утверждение почти очевидно. Чтобы доказать его формально, заметим, что

и отношение не обращается в нуль. В самом деле, где с — нижняя граница на единичном круге. Кроме того, при

Таким образом, когда Далее,

где следовательно,

и первое утверждение, таким образом, доказано. Доказательство второго утверждения следует из условия

Иногда рассматривают радиальную и трансверсальную составляющие поля обозначим их соответственно через а составляющие — через

Поле мы исследовали в § 19.4; выясним теперь, в какой степени движение в окрестности точки О в поле отличается от движения в окрестности этой точки в поле Однако теперь, в отличие от поляо» ограничимся характеристиками, начинающимися вблизи точки О.

Как мы увидим, движение в окрестности узла, седла или фокуса подобно соответствующему движению для поля Исключение составляет вихревая точка. В этом случае линейных членов недостаточно, чтобы решить вопрос об устойчивости. Это является несколько неожиданным, в особенности если учесть, что сюда относится задача о малых колебаниях Однако в случае малых колебаний мы располагаем некоторыми дополнительными данными, получаемыми из уравнения энергии, факт устойчивости мы знаем заранее, и линейная теория в этом случае дает хорошее приближение к действительному движению. Но в общем случае оснований для такого рода утверждений нет.

Рассмотрим сначала положительную полухарактеристику, которая стремится к точке О и входит в нее. Если при то одновременно и поскольку

находим

Вектор представляет собственный вектор матрицы А. Таким образом, если собственные значения вещественны и различны, то могут существовать лишь два направления (или четыре, если различать положительные и отрицательные), по которым траектории входят в точку если же собственные значения комплексно-сопряженные, то ни одна траектория не может входить в точку О.

Рассмотрим теперь движение в окрестности особых точек различных типов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление