Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19.4. Движение в окрестности особой точки. Линейное приближение.

Возьмем начало координат в особой точке. Производя разложение в окрестности особой точки мало), будем иметь

причем и величины стремятся к нулю вместе с (В простых случаях имеют порядок Естественно ожидать, что линейное приближение (т. е. приближение, определяемое одними только линейными членами, без учета членов, содержащих даст нам возможность судить о поведении движения и в общем случае. Поэтому начнем с рассмотрения более простой задачи, когда уравнения имеют вид

или, в матричной записи,

Здесь х обозначает матрицу-столбец а -неособенную матрицу

Как мы увидим, результаты исследования существенно зависят от собственных значений матрицы А, определяемых как корни уравнения

или, что то же,

Если произвести линейное преобразование

где С — неособенная матрица, а и есть вектор (матрица-столбец) то уравнение (19.4.3) перейдет в следующее:

где через В обозначена матрица Матрицу С можно выбрать так, чтобы матрица В имела простой вид — так называемую нормальную форму Жордана. Этот выбор производится следующим образом.

a) Если корни вещественны и различны, то существует вещественное линейное преобразование такое, что матрица В принимает вид

(вспомним преобразование к нормальным координатам в теории малых колебаний, см. § 9.2).

b) Если корни вещественны и одинаковы, то существует вещественное линейное преобразование такое, что матрица В принимает форму

или форму

Если корни комплексны и существует комплексное линейное преобразование такое, что матрица В принимает форму

Последнее эквивалентно утверждению, что с помощью надлежащего вещественного линейного преобразования можно привести матрицу В к виду

Рассмотрим характер движения в различных случаях. 1) Собственные значения вещественны и одного знака. Рассмотрим отдельно случай, когда они различны и случай, когда одинаковы.

1а) Собственные значения вещественны, не равны друг другу и имеют одинаковые знаки. Для определенности предположим, что собственные значения отрицательны, т. е. Преобразованная система имеет вид

Решение можно представить в форме

где

Малым значениям соответствует малые значения и если то и так что расстояние изображающей

точки от начала координат стремится к нулю. В таких случаях мы будем говорить, что траектория стремится к точке О. Далее, направление касательной к траектории при стремится к некоторому предельному направлению; мы будем говорить, что при этом траектория входит в точку О. Чтобы доказать, что касательная к траектории стремится занять предельное направление, рассмотрим отношение

Если то оно стремится либо к либо к . Таким образом, траектория входит в точку О вдоль положительного или отрицательного направления оси Если то траектория представляет собой отрезок оси и между Таким образом, вдоль оси и в точку О входят две траектории (или, точнее, две системы полутраекторий, поскольку изображающая точка движется к точке О вдоль положительного направления оси и при всех положительных значениях а не только при каком-нибудь одном значении). Мы имеем здесь случай, описанный выше, в § 19.1. Траектория входит в точку О, но сама эта точка не принадлежит траектории, а является лишь предельной точкой.

Рис. 75.

Таким образом, если то все положительные полухарактеристики входят в точку О, из них две (или, точнее, две системы) входят в эту точку вдоль оси а остальные вдоль оси (рис. 75). (Если перейти к первоначальным переменным направления, по которым кривые входят в точку О, уже не будут составлять прямого угла.) Особенность такого типа называют устойчивым узлом. Если мы имеем неустойчивый узел; в этом случае в точку О входят отрицательные полухарактеристики.

lb) Собственные значения вещественны и равны друг другу, и матрица

имеет нулевой ранг. В этом случае Уравнения имеют вид

и если например то решением будет

Траекториями являются прямые

и все положительные полухарактеристики входят в точку О. Эта точка снова оказывается устойчивым узлом, но на этот раз, в отличие от случая 1а), положительные полухарактеристики входят в точку О по всевозможным направлениям (рис. 76). Если то получаем неустойчивый узел. Особенность этого типа редко встречается в практических задачах.

1с) Собственные значения вещественны и равны друг другу, и ранг матрицы

равен единице. Матрицу можно привести к виду

Уравнения запишутся следующим образом:

Если например то решение будет иметь вид

и положительные полухарактеристики будут стремиться к точке О.

Рис. 76.

Рис. 77.

Если то траектория является частью оси и. Если то отношение

стремится к нулю, когда и положительная полухарактеристика входит в точку О вдоль оси Мы снова имеем устойчивый узел, и все полухарактеристики входят в точку О по направлению оси и (рис. 77). Если то получаем неустойчивый узел.

Итак, можно утверждать, что если собственные значения вещественны и отрицательны, то особая точка является устойчивым узлом, если же эти значения вещественны и положительны, то особая точка является неустойчивым узлом.

2) Собственные значения вещественны и различны по знаку, скажем, Уравнения имеют вид

Решением будет

К точке О подходят лишь положительные полухарактеристики, для которых Остальные траектории представляют собой кривые типа

гипербол (точные гиперболы получаются при а также ось изображающая точка движется по этим кривым в бесконечность (рис. 78). Особенность этого типа называется седловой точкой или седлом.

Рис. 78,

Рис. 79.

3) Собственные значения являются комплексно-сопряженными (равны а 0). Вещественное линейное преобразование в этом случае приводит к уравнениям

или, в более компактной форме,

где Решение имеет вид

причем вещественны, Переходя от декартовых координат к полярным получаем

Если то при ; при этом траектории стремятся к точке О, но не входят в нее. Кривые имеют форму спиралей (логарифмических спиралей, если координаты прямоугольные), закручивающихся около точки О в положительном направлении, если (рис. 79).

Особенность этого типа называется спиральной точкой или фокусом. Фокус устойчив, если Если то получаем неустойчивый фокус; в этом случае к точке О приближаются отрицательные полухарактеристики; при

Пример Классический пример устойчивого фокуса мы имеем в случае затухающих колебаний. Эта задача нами уже рассматривалась в § 19.2, здесь мы вкратце повторим решение с целью проиллюстрировать выводы общей теории. Уравнения движения имеют вид

Собственные значения равны где Вводя новые переменные

перепишем уравнения в форме

В полярных координатах имеем

Решение имеет вид

Мы приняли, что при Таким образом,

Следовательно,

где Мы получили формулы (19.2.15), (19.2.16); траектория в плоскости показана на рис. 73.

4) Собственные значения чисто мнимы (равны Этот случай мы получаем из предыдущего при Уравнения имеют вид

Решением будет

В плоскости траектории представляют собой окружности, а в плоскости эллипсы. Мы имеем здесь исключительный случай, когда все траектории являются замкнутыми и, следовательно, все орбиты периодические. Особенность такого типа называется вихревой точкой или центром.

Пример Классический пример вихревой точки дает гармонический осциллятор (пример Движение его описывается уравнением второго порядка

или двумя уравнениями первого порядка

Собственные значения равны Полагая получаем

Решением в плоскости будет

Отсюда получаем известное решение в координатах х, у\

Траекториями в плоскости являются эллипсы

Пример 19.4С. Для системы

собственные значения равны Траектории находим из уравнения

Решая его, получаем

Следовательно, траекториями являются эллипсы (рис. 80). (Чтобы построить траектории, заметим, что

причем

Эта система фактически эквивалентна предыдущей, так как уравнение можно записать в виде

где Решение будет иметь вид

Траекториями в плоскости будут окружности

Уравнения (19.4.52) и (19.4.49), очевидно, эквивалентны.

Рис. 80.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление