Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19.2. Движение частицы по прямой.

Обозначим через х смещение частицы в некоторый момент t относительно фиксированного начала координат О, выбранного на прямой. Если через обозначить массу частицы, а через действующую на нее силу, где

то уравнение движения будет иметь вид

Заменим это уравнение двумя уравнениями первого порядка типа (19.1.2), тогда будем иметь

Если функция не содержит то система будет автономной.

Выше мы уже встречались с несколькими примерами подобных систем. В § 1.2 была рассмотрена задача о движении точки в силовом поле, когда функция зависит только от х.

Движение частицы под действием силы, зависящей от скорости (например, движение. в сопротивляющейся среде), также представляет собой простую задачу. Уравнение движения в этом случае имеет вид

и если сила обусловлена сопротивлением среды, то функция обращается в нуль вместе с является монотонно убывающей. Представляет интерес случай, когда условие не выполняется; в этих случаях говорят об отрицательном трении. Уравнение (19.2.4) эквивалентно системе двух уравнений:

причем второе из них не связано с первым, так как содержит только переменные Траектории в плоскости можно определить из уравнения

Кроме того, имеем

и для сопротивляющейся среды правая часть отрицательна (за исключением случая так что кинетическая энергия движения всегда убывает с ростом t.

Классической задачей, приводящейся к уравнениям типа (19.2.1), является задача о движении частицы в однородном силовом поле при сопротивлении, пропорциональном скорости. Уравнение движения в этом случае имеет вид

где х измеряется в направлении, противоположном направлению поля. Решение, удовлетворяющее начальным условиям: при имеет вид

где с есть терминальная скорость Траектория в плоскости описывается уравнением

Прежде чем перейти к общей теории, остановимся на вопросе о движении в сопротивляющейся среде под действием сил неоднородного поля общего вида. В этом случае функция задается суммой функции от х и функции от х и уравнение движения записывается в форме

Отсюда следует, что

и если сила обусловлена сопротивлением среды, то правая часть уравнения отрицательна, и энергия монотонно убывает.

Рассмотрим в качестве примера осциллятор в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Уравнение движения такого осциллятора имеет вид

Будем рассматривать случай «слабого» сопротивления, когда Решением, удовлетворяющим начальным условиям: при будет

где Выбрав подходящим образом начало отсчета времени, запишем решение в виде

Отсюда

Определив острый угол а соотношениями

перепишем решение в следующей форме:

где Эти уравнения определяют спиральную кривую, приближающуюся к точке О (рис. 73); она обладает свойством, выражаемым формулой

Колебания осциллятора, совершаемые вдоль прямой, затухают, и изображающая точка стремится к положению О, соответствующему состоянию покоя.

Задача о вынужденных колебаниях осциллятора при наличии затухания рассматривалась нами в § 9.10.

Движения, подобные только что описанному, составляют широкий класс задач, и прототипом для них служит осциллятор. Пусть обозначает силу притяжения к точке , а сопротивление трения. Функция монотонно убывает

убывает, обращаясь в нуль вместе с функция также монотонно убывает и обращается в нуль при Можно считать, что так что при и монотонно возрастает с ростом х. При этих условиях движение представляет собой затухающее колебание, как это имело место в рассмотренном выше примере. Для доказательства заметим, что с ростом t энергия монотонно убывает и при стремится к предельному значению С 0. Случай однако, невозможен. В самом деле, если предположить, что то мы имели бы

и это соответствовало бы периодическому колебанию с постоянной энергией С на отрезке оси Соответствующей траекторией в плоскости была бы замкнутая овальная кривая, подобная кривой (проведенной сплошной линией на рис. 74). С другой стороны, если выражение монотонно убывает, приближаясь к значению С, то изображающая точка в плоскости описывает спираль, стремящуюся к кривой (пунктирная кривая на рис. 74).

Рис. 73.

Рис. 74.

При этом за промежуток времени между двумя последовательными минимумами х энергия убывает на величину, превышающую К, где

Через у здесь обозначена положительная функция от график которой представляет часть кривой в верхней полуплоскости. Но так что спустя конечное число колебаний (между двумя последовательными минимальными значениями энергия будет меньше С, каково бы ни было ее начальное значение. Таким образом, предположение, что приводит к противоречию, откуда следует, что Траектория изображающей точки в плоскости имеет форму спирали, приближающейся к точке О (спираль имеет вид, показанный на рис. 73); двигаясь вдоль оси х, частица стремится к положению равновесия О. Все эти результаты интуитивно понятны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление