Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18.16. Постоянные ...

Эти параметры с помощью формулы (18.12.8) можно выразить через а стало быть, через эллиптические элементы Найдем сначала

Интегрирование можно произвести различными способами. Используя эксцентрическую аномалию, получаем

и интеграл равняется

Выразив правую часть через а, найдем

Другой возможный способ мы приведем здесь в качестве иллюстрации приемов интегрирования, хотя в данном случае он особых преимуществ не имеет. Рассматривая как комплексную переменную, произведем интегрирование но контуру. Чтобы сделать подынтегральную функцию однозначной, произведем в плоскости разрез от до Непосредственно ниже разреза радикал будем считать положительным. Выражение (18.16.1) для можно трактовать как интеграл по простому замкнутому контуру С, охватывающему разрез (рис. 70):

Рис. 70.

Обозначим через окружность большого радиуса с центром в точке О, а через у — малую окружность с центром в той же точке; тогда подынтегральная функция будет регулярна в замкнутой области, ограниченной снаружи окружностью а изнутри — контуром С и окружностью у. Можем написать

Здесь интегралы берутся но контурам, проходимым в положительном направлении (против часовой стрелки). Имеем

Подынтегральная функция имеет простой нолюс в начале координат с вычетом , так что интеграл будет равен

Для интеграла по большой окружности получаем

Здесь мы перешли к новой переменной и обозначили через у малую окружность с центром в точке В начале координат подынтегральная функция имеет полюс второго порядка с вычетом , так что интеграл (18.16.9) равен

Окончательно получаем

что совпадает с полученным выше результатом. Далее, имеем

Применив подстановку

преобразуем этот интеграл к виду

Вводя эллиптические элементы, находим

Наконец,

Итак, имеем

Отсюда следует, что

и, следовательно,

Мы здесь имеем пример особого случая, который упоминался в § 18.8. Постоянная энергии зависит от единственной линейной формы от I, и вопрос о периодичности или непериодичности движения решается независимо от начальных условий. В самом деле, в рассматриваемом случае все частоты системы одинаковы и, поскольку движение всегда периодично. Общая величина частот равна

или

Мы, таким образом, пришли к результату, уже полученному нами в § 18.15.

Переменные можно выразить через величины, определяющие положение планеты. Для этой цели заменим в формулах (18.15.3) величину I на тогда получим

Эти формулы эквивалентны соотношениям, связывающим переменные они легко выводятся на основе теории, изложенной в § 18.9. Чтобы получить выражение для К, достаточно заменить параметры а в формулах (18.12.8) их значениями, выраженными через I:

Тогда формулы (18.16.21) непосредственно следуют из уравнений (18.9.6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление