Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18.2. Теорема Штеккеля.

В этом параграфе мы рассмотрим центральную теорему теории разделимых систем. Естественно поставить вопрос: какова наиболее общая форма разделимой системы? Исчерпывающего ответа на этот вопрос пока нет. Но если ограничиться рассмотрением ортогональных систем (т. е. таких систем, у которых выражение для содержит только квадратичные члены по или и не содержит произведений), то ответ дается теоремой Штеккеля, которую мы сейчас докажем. Рассмотренная выше система Лиувилля принадлежит к классу разделимых ортогональных систем, но не является ортогональной системой самого общего вида.

Рассмотрим систему, для которой

Заметим, что . Коэффициенты и потенциальная функция V являются заданными функциями лагранжевых координат принадлежащими к классу в соответствующей области пространства; кроме того,

Теорема Штеккеля утверждает, что система допускает разделение переменных тогда и только тогда, когда существуют неособая матрица размером элементы которой зависят только от и матрица-столбец где зависят только от такие, что

Прежде чем переходить к доказательству теоремы, заметим следующее. Условие (18.2.2) можно записать так:

Здесь и обозначает матрицу матрицу-столбец . В матрицах и строка содержит только одну координату Если матрица, обратная матрице и, то имеют следующие выражения:

Перейдем теперь к доказательству теоремы. Сначала докажем, что условия (18.2.2), (18.2.3) являются необходимыми. Предположим, что переменные разделяются, т. е. что модифицированное уравнение в частных производных

имеет полный интеграл вида

где

Подставим это выражение полного интеграла в уравнение (18.2.6); оно будет удовлетворяться тождественно для всех значений в соответствующей области. Дифференцируя частным образом по каждому а, получаем

Коэффициент при в каждом из этих уравнений зависит только от поскольку К имеет форму (18.2.7); определитель из этих коэффициентов равен

Он отличен от нуля, поскольку К есть полный интеграл.

Возьмем теперь некоторую систему значений такую, чтобы определитель А не обращался в нуль. Тогда уравнения (18.2.9) примут форму

т. е. будут иметь форму (18.2.2) с Далее

т. е. имеет вид Таким образом, мы доказали необходимость указанных

условий для того, чтобы система допускала разделение переменных.

Докажем теперь, что эти условия и достаточна. Затем, считая, что эти условия выполняются, перейдем к нахождению интегралов уравнений движения и исследованию движения.

Модифицированное уравнение в частных производных имеет вид

где есть одна из произвольных постоянных, входящих в выражение полного интеграла. Так как по нашему предположению условия (18.2.2), (18.2.3) выполняются, то уравнение (18.2.13) можно записать в следующей форме:

где — произвольные постоянные. Его можно записать также в виде

Теперь очевидно, что сумма в которой функции определяются из уравнений

представляет полный интеграл.

Обозначим правую часть уравнения (18.2.17) через Эта функция зависит только от координаты и содержит постоянные которые входят в ее выражение линейно. Кроме того,

или, точнее,

Нижний предел интеграла берется, как обычно, равным либо абсолютной постоянной, либо значению простого нуля функции

Интегралами уравнений движения будут

Решение динамической задачи, таким образом, сводится к квадратурам. Уравнение (18.2.21) определяет траекторию в -пространстве (безотносительно ко времени). Уравнения (18.2.20), (18.2.21) дают решение задачи Лагранжа о движении в -пространстве, а уравнения решение задачи Гамильтона о движении в фазовом пространстве.

Укажем на некоторые свойства полученного решения. Постоянная энергии в дальнейшем будет играть особую роль, составляющая обобщенного импульса есть функция координаты в случае либрации она является двузначной функцией составляющая скорости определяется формулой

и зависит не только от в случае либрации она двузначна и знак ее совпадает со знаком

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление