Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17.13. Неограниченные орбиты.

Рассмотрим теперь орбиты, соответствующие положительным значениям т. е. орбиты, соответствующие точкам областей 5, 6, 7, 8 на рис. 61. В этих случаях величины вещественны, а отрицательны. В процессе движения параметр К принимает значения, лежащие вне интервала значения внутри интервала Значения X не ограничены сверху, а их нижняя граница равна большему из чисел За исключением одного тривиального случая (когда и X первоначально убывает, мы имеем неустойчивое лимитационное движение

к величина X возрастает вместе с t. Более того, с ростом t. Для доказательства этого достаточно заметить, что

и последний интеграл справа расходится.

Поведение переменной требует более внимательного рассмотрения. Имеем

и интеграл в правой части сходится при Мы имеем пример псевдолимитационного движения (§ 17.3). Если функция имеет простые нули, то после конечного числа (которое может быть и нулем) колебаний наступает псевдолимитационное движение к пределу, заключенному между двумя последовательными простыми нулями. Если же один из нулей функции двукратный, то мы имеем псевдолимитационное движение к предельному значению вблизи двукратного нуля.

За исключением упомянутого выше тривиального случая (который имеет место тогда, когда а функция имеет двойной нуль), все орбиты при оказываются неограниченными. Такие орбиты менее интересны, нежели ограниченные, и поэтому мы остановимся только на одном частном случае.

Рассмотрим точку, расположенную внутри области 5 на рис. 61. Для точек этой области и орбита располагается вне эллипса причем неограниченно возрастает после возможного (при в начальный момент) первоначального убывания до значения . В этом случае и на первый взгляд можно было ожидать либрации по координате между пределами . Между тем это не так, ибо, как мы видели, движение по координате является псевдолимитационным и после конечного числа колебаний между пределами величина стремится к Орбита представляет собой спираль, касающуюся снаружи эллипса и после конечного числа витков уходящую в бесконечность и приближающуюся к одной из конфокальных гипербол.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление