Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17.8. Притяжение к центру по закону ...

Теперь, после того как мы произвели классификацию всех возможных траекторий, можно перейти непосредственно к интегрированию; детальное вычисление всегда предпочтительно осуществлять после качественного исследования. В случае центрального поля с потенциалом уравнения интегрируются при в тригонометрических или экспоненциальных функциях, а при — в эллиптических функциях. (Теория предыдущего параграфа применима, разумеется, лишь в случаях, когда больше двух.) Рассмотрим случай, когда притяжение пропорционально т. е. . В этом случае имеем

причем

Критическая кривая является параболой При иллюстрации теоретических выводов мы ограничимся рассмотрением центральной области 2 (рис. 51) и ее границ или где

Нам будет удобно перейти отмкг; тогда уравнения (17.7.1) запишутся в виде

(здесь мы без ущерба для общности изменили знак первого радикала).

Рассмотрим траектории для лежащих в области

12. . Дифференциальное уравнение траектории в плоскости запишется в виде

где траектория (типа розетки) представляет окружность

2. . В этом случае

где

Имеем две траектории: траекторию типа розетки, расположенную внутри окружности и незамкнутую траекторию типа гиперболы, расположенную вне окружности

1) Траектория типа розетки; Применяем подстановку

При этом

и уравнение (17.8.6) принимает вид

а уравнение орбиты записывается в виде

Заметим, что достигает своего максимального значения при где

При угол и траектория приближается по форме к спирали, которая при наворачивается изнутри на окружность.

Численный пример. Пусть Тогда

и угол составляет приблизительно 108° (рис. 56).

Рис. 56.

2) Незамкнутая траектория, Для того чтобы закончить интегрирование, воспользуемся подстановкой, в которой пропорционально где вводя соответствующий множитель пропорциональности и полагая, как и ранее, будем иметь

Тогда

В результате получаем

Подставляя в дифференциальное уравнение траектории (17.8.6), получаем Уравнением траектории будет

При здесь Траектория, соответствующая указанным выше численным данным, изображена на рис. 56.

Уравнения можно выразить также не через эллиптические функции Якоби, а через -функции Вейерштрасса. В уравнении (17.8.6)

полагаем

При этом получаем

где

так что Для траектории типа розетки

так что достигает максимального значения при Уравнение траектории записывается в форме

Для незамкнутой траектории

достигает минимального значения при и стремится к бесконечности при Уравнение траектории имеет вид

Возвращаясь к систематической классификации траекторий, рассмотрим точки лежащие на границе 23 рис. 51.

23. ; дифференциальное уравнение траектории может быть записано в форме

Возможны три случая:

1) Если в начальный момент то траектория представляет собой окруяшость

2) Если в начальный момент возрастает вместе с , то

где Траекторией является спираль

наворачивающаяся изнутри на окружность

3) Если в начальный момент убывает с ростом , то

и траектория представляет собой спираль

наворачивающуюся снаружи на окружность

Читатель, желающий продолжить исследование, может самостоятельно составить уравнения траекторий, соответствующих значениям лежащим в областях 1 и 3 рис. 51.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление