Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XVII. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 17.1. Разделение переменных.

Некоторые механические системы, описываемые определенной системой лагранжевых координат, допускают разделение переменных. Иными словами, написанное для такой системы модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) имеет полный интеграл в виде суммы функций, каждая из которых зависит от одной из координат. Подобные системы обладают рядом важных и интересных свойств, изучение которых, составит предмет этой главы. Возможность разделения переменных зависит как от самой изучаемой системы, так и от выбранной для ее описания системы координат. Естественно, возникает вопрос: каковы условия, при которых возможно разделение переменных, и каковы свойства систем, допускающих это разделение? В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением натуральных систем с степенями свободы, для описания которых используются лагранжевых координат.

Разделимые системы встречаются главным образом в теории малых колебаний когда выбранные лагранжевы координаты являются нормальными. Движение по каждой координате в этом случае совершенно не зависит от движения по другим координатам, и система фактически распадается на независимых систем. Подобного рода полная разделимость встречается и в других задачах (см. пример в § 8.11). Однако в общем случае в разделимых системах это не имеет места. Мы не можем изолировать одну какую-либо координату и изучать ее изменение, как для системы с одной степенью свободы. Тем не менее при изучении любой разделимой системы можно в известном смысле приблизиться к подобному идеальному разделению. Как станет далее ясно, изменение одной координаты можно в определенной степени рассматривать независимо от поведения других координат. Смысл этого пока не очень четкого утверждения станет ясен несколько позже (в § 17.3).

Мы уже рассматривали ранее движение консервативной системы с одной степенью свободы; типичной задачей этого рода является прямолинейное движение частицы в силовом поле. Основное дифференциальное уравнение, описывающее движение частицы (§ 1.2), имеет вид

и, как уже указывалось, о характере движения можно судить по виду функции Решение основывается на теории дифференциальных уравнений этого вида. В случае одной степени свободы функция содержит только один параметр, а в общем случае разделимой системы с степенями свободы мы имеем параметров, входящих линейно в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление