Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16.7. Гармонический осциллятор.

В этом случае

и уравнение Гамильтона в частных производных имеет вид

Легко проверить, что найденная ранее главная функция

удовлетворяет уравнению (16.7.2) при всех значениях а. Здесь а есть начальное значение мы будем считать, что Чтобы найти полный интеграл, положим

Это выражение удовлетворяет уравнению (16.7.2), если

Для примем выражение

Следовательно,

Из теоремы Гамильтона — Якоби получаем

что можно записать в обычной форме:

где

Выясним, как связаны между собой оба полученных полных интеграла. Рассмотрим сначала решение

и положим в нем

считая, что функция а в остальном произвольна. Тогда правая часть (16.7.10) будет иметь вид а, а). Из теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка известно, что если решить уравнение

относительно а и подставить это значение в то мы получим новый полный интеграл. Надо показать, что при надлежащем выборе функции мы придем этим путем к функции (16.7.7) с аддитивной постоянной а. Положим

Тогда уравнение (16.7.12) запишется в следующей форме:

Это уравнение нужно решить относительно а и результат подставить в Перепишем уравнение (16.7.14) в виде

и положим тогда будем иметь

где Таким образом,

Но

так что функция (16.7.17) принимает вид

Таким образом, подставив в (16.7.17) значение а, найденное из уравнения (16.7.14), мы действительно получили новый полный интеграл.

В заключение остановимся коротко на одном обстоятельстве, имеющем важное значение для приложений теоремы Гамильтона — Якоби. Мы видели, что выражение — является полным интегралом уравнения при условии, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

и приняли в виде (16.7.6), причем нижний предел интеграла взяли равным нулю. В качестве нижнего предела можно было бы взять один из нулей функции, стоящей под радикалом, например —а. В дальнейшем нам часто будут встречаться случаи, когда полный интеграл содержит слагаемое причем удовлетворяет дифференциальному уравнению вида

(функция содержит, разумеется, еще параметры а). Таким образом,

и в качестве нижнего предела интегрирования можно взять либо абсолютную постоянную, либо простой нуль а функции Обычно выбирают вторую возможность, и в этом случае нижний предел интегрирования оказывается зависящим от а. Но при вычислении частной производной дифференцирование, как и прежде, производится только под знаком интеграла; от того, что нижний предел есть функция новые члены не появляются, поскольку подынтегральная функция при а обращается в нуль.

Операция дифференцирования по под знаком интеграла приводит к несобственному интегралу, в котором подынтегральная функция обращается в бесконечность на одном из пределов интегрирования. (Например, интеграл

в правой части равенства (16.7.8) будет несобственным, если нижний предел интегрирования взять равным —а.) Но интеграл сходится, так что правило вычисления производной путем дифференцирования под знаком интеграла остается в силе . В этой задаче мы фактически уже встречались со сходящимися несобственными интегралами: в уравнении мог принимать значения а и —а, и при этих значениях х интеграл в правой части становился несобственным, уравнение же оставалось справедливым и для этих значений х.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление