Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14.10. Другие доказательства теорем об энергии.

Доказательства теорем об энергии, которые мы дали в §§ 14.6 и 14.7, могут быть проведены и в лагранжевых координатах. Дадим их для некоторых из теорем. Будем предполагать, что все в формуле (14.8.1) равны нулю. При этом условии является однородной квадратичной функцией от

и

Уравнение Лагранжа в теории удара записывается в виде

1) Для доказательства теоремы о суперпозиции (§ 14.6) будем исходить из равенств

где скорость, сообщаемая импульсом скорость, сообщаемая импульсом Следовательно,

и скорость, сообщаемая импульсом равна

Полученный результат эквивалентен теореме § 14.6, так как линейные и однородные функции от Если, в частности, система первоначально находилась в покое, то суперпозиция импульсов влечет за собой суперпозицию скоростей.

2) Если система, находившаяся первоначально в покое, приводится в движение заданной системой импульсов, то в силу (14.10.3) кинетическая энергия ее имеет выражение

или выражение (14.7.5), так как скалярное произведение представляет собой инвариант.

3) Если в момент приложения импульсов система находится в движении, то

С другой стороны,

(Этот результат еще понадобится нам позже.) Учитывая (14.10.10), получаем

что эквивалентно (14.7.4).

4) Для доказательства теоремы Бертрана предположим, что составляющие обобщенного импульса равны нулю при и что во втором опыте связи имеют вид при

Для первого опыта

а для второго опыта

(штрихом обозначены величины, относящиеся ко второму опыту). Имеем

Второе и третье слагаемые правой части равны нулю: второе в силу того, что при и при а третье в силу равенства (14.10.10). В результате получаем

5) Чтобы доказать теорему Кельвина, будем считать величины заданными при а величины равными нулю при Если отнести к любому другому движению, возможному при заданных значениях то можно будет написать t

Здесь тоже второе и третье слагаемые правой части обращаются в нульз второе в силу того, что при при а третье в силу равенства (14.10.10). В результате получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление