Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14.8. Лагранжевы координаты и квазикоординаты.

До сих пор при изложении теории удара мы пользовались исключительно декартовыми координатами, подобно тому как это делалось в гл. при изложении теории в случае конечных сил. В этом параграфе введем координаты более общего типа. Ими могут быть как лагранжевы координаты, так и квазикоординаты. В теории удара можно свободно пользоваться квазикоординатами, подобно тому как мы пользовались ими в уравнениях Гиббса — Аппеля. Имеем

где k — число степеней свободы системы (или, в задачах со связями первого типа, число степеней свободы до момента наложения связи). Уравнения (12.2.7) в теории удара не требуются. Из уравнений (12.2.6) получаем

где — составляющая скорости Из (14.8.1) находим

причем коэффициенты считаются теперь постоянными. Обратимся к основному уравнению (14.3.6):

Правая часть этого уравнения равна

где

есть обобщенная составляющая импульса. Величины могут быть найдены точно таким же образом, как величины в уравнениях Гиббса — Аппеля (§ 12.3). Именно, воспользуемся соотношением

В наиболее распространенном случае, когда все коэффициенты в (14.8.1) равны нулю, имеем

Выражая правую часть (14.8.4) через к величин получаем

Этот результат аналогичен пятой форме основного уравнения (12.3.11) в случае конечных сил.

Введем функцию

С помощью соотношений (14.8.3) ее можно выразить через разности Проделав это, получим однородную квадратичную функцию от этих разностей. Если коэффициенты все равны нулю, то зависит от таким же образом, как зависит от юг; в любом случае функцию можно построить по членам в выражении для Левая часть уравнения (14.8.9) равна

Поэтому его можно записать в эквивалентной форме:

Чтобы получить уравнение движения в момент достаточно, как обычно, применить бесконечно малые вариации; тогда уравнение (14.8.12) примет вид

В случае отсутствия импульсивных связей, когда вариации независимы, уравнение (14.8.13) приводится к уравнениям

В случае импульсивных связей первого типа, например связи, выражаемой одним уравнением

движение в момент определяется условием и уравнением связи (14.8.15); соответствующие уравнения имеют вид

Множитель пропорционален величине импульса, создаваемого импульсивной связью.

Уравнения движения, получаемые из равенства

(в котором бесконечно малы), совпадают с условиями стационарности выражения

Это выражение в действительном движении имеет минимум. В самом деле,

Отсюда, учитывая (14.8.9), получаем

Доказательство на этом заканчивается. Полученный результат аналогичен неравенству (14.5.3), подобно тому как неравенство (12.4.6) аналогично принципу наименьшего принуждения Гаусса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление