Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13.11. Свободное тело; случай осевой симметрии.

Одной из классических задач динамики твердого тела является задача о свободном движении твердого тела, т. е. о движении тела при отсутствии сил. Центр тяжести в этом случае движется прямолинейно и равномерно, а вращение тела описывается уравнениями

Эти уравнения справедливы и в других случаях. Если действующие на тело силы приводятся к равнодействующей, приложенной в центре тяжести, то уравнения (13.11.1) будут справедливы, так как при этом важным частным случаем является задача о движении снаряда в (однородном) гравитационном поле Земли. Уравнения (13.11.1) сохраняют силу также в случае вращения твердого тела около неподвижной точки О, если момент заданных сил относительно этой точки равен нулю.

Рассмотрим теперь различные случаи движения, описываемого уравнениями (13.11.1). Если тело обладает сферической симметрией и, стало быть, то задача решается просто. (Напомним, что оси жестко связаны с телом и движутся вместе с ним.) Из (13.11.1) сразу следует, что т. е. тело вращается с постоянной угловой скоростью около неподвижной оси.

Далее, рассмотрим тело, обладающее осевой симметрией например диск, или гироскоп, или же свободно вращающийся волчок. (В задаче о вращении тела около неподвижной точки в поле силы тяжести неподвижная точка должна совпадать с центром тяжести.) Из третьего уравнения Эйлера следует, что пусть

Два первых уравнения тогда запишутся в виде

где Предположим для определенности, что Полагая заменим уравнения (13.11.3), (13.11.4) одним эквивалентным уравнением в комплексных переменных:

Отсюда

где вещественные постоянные и Без потери общности можно считать, что тогда

На основании соотношений (13.11.7) нетрудно получить представление о характере движения. Вектор угловой скорости и вектор момента количеств движения лежат в плоскости, проходящей через ось симметрии которая вращается относительно тела с угловой скоростью К.

Рис. 40.

Рис. 41.

Ось вращения образует угол а с осью а вектор момента количеств движения составляет с этой осью угол углы определяются формулами

Угловая скорость остается при этом постоянной.

Пусть тогда Ось вращения составляет постоянный угол с вектором момента количеств движения, который остается неизменным; таким образом, ось вращения служит образующей прямого кругового конуса, фиксированного в пространстве, с углом раствора Одновременно ось вращения составляет постоянный угол а с осью и описывает в твердом теле конус с углом раствора а. Таким образом, движение может быть представлено как качение конуса с раствором а по внутренней поверхности неподвижного конуса с раствором (рис. 40).

Пусть теперь тогда скажем, . В этом случае конус с углом раствора а, неизменно связанный с телом, катится по наружной поверхности неподвижного конуса с углом раствора (рис. 41).

В каждом из этих случаев ось гироскопа описывает конус с углом раствора около вектора момента количеств движения с периодом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление