Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13.6. Шар на вращающейся наклонной плоскости.

Пусть плоскость, наклоненная под углом а к горизонту, вращается с постоянной угловой скоростью около вертикальной оси, а однородный тяжелый твердый шар массы и радиуса а катится по ней. В этом случае Поместим начало координат О в точку пересечения плоскости с осью вращения, ось направим вдоль линии наибольшего наклона, ось перпендикулярно к плоскости, а ось по горизонтали в плоскости. Тогда будем иметь

Составляющие ускорения центра шара с координатами х, у, z будут равны

и аналогично для . В рассматриваемом случае и наши формулы принимают вид

Последняя из формул не содержит составляющих ускорения и потому не представляет сейчас для нас интереса. Теперь можно написать ту часть функции Гиббса, которая зависит от движения центра тяжести шара. Чтобы написать остальную часть, необходимо вычислить Условия качения

записываются в виде

Их можно получить, рассматривая относительное движение шара. Если скорость центра шара имеет составляющие то, рассматривая движение той частицы шара, которая в данный момент касается плоскости, можем написать

Из движения точки касания, т. е. основания перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, находим

Условия качения (13.6.4) непосредственно следуют из (13.6.5) и (13.6.6). Таким образом,

Функцию Гиббса теперь можно выразить через составляющие ускорения х, у,

Чтобы вычислить работу заданных сил на виртуальном перемещении, можно рассмотреть момент силы тяжести относительно точки соприкосновения. Напомним, что при виртуальном перемещении плоскость остается в покое. Еще проще, если заметить, что совершаемая работа равна где Таким образом, работа заданных сил на виртуальном перемещении будет равна

Теперь можно написать уравнения движения:

Из (13.6.12) находим

Исключая из (13.6.13) и (13.6.11), получаем уравнения, определяющие х и у как функции от t. Их можно представить в следующей форме:

Входящая сюда постоянная определяется следующим образом:

где есть значение у при значение в этот момент времени. Если то, изменяя начало координат, можно получить линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения (13.6.14) можно проинтегрировать до конца, если задаться начальными значениями Задача § 13.5, в которой является частным случаем рассматриваемой; она получается при Сравнение результатов провести нетрудно, хотя в § 13.5 ответ получен в несколько иной форме, поскольку оси там не вращались.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление