Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13.4. Движение твердого тела.

Для нахождения функции Гиббса воспользуемся теоремой § 13.2. Сначала вычислим для твердого тела с одной неподвижной точкой. Возьмем подвижную прямоугольную систему координат с началом в неподвижной точке О. Пусть 6 будет вектор угловой скорости этой системы, а — вектор угловой скорости тела. Радиус-вектор произвольной частицы тела обозначим через скорость ее — через и ускорение — через Все эти векторы измеряются относительно подвижной системы координат (точнее говоря, относительно неподвижной системы, совпадающей в каждый данный момент с подвижной системой). Имеем следующие соотношения:

где

Составляющая ускорения по оси х равна

До сих пор движение системы отсчета мы никак не связывали с движением тела. В дальнейшем нам будет удобно систему координат выбрать таким образом, чтобы оси ее совпадали с главными осями инерции тела и моменты инерции тела относительно этих осей были постоянны. При таком выборе системы отсчета будем иметь

В этом соотношении мы сохранили лишь члены, содержащие члены же, не содержащие составляющих вектора мы опустили. Кроме того, мы учли, что

Раскрывая скобки в равенстве (13.4.5) и отбрасывая члены, не содержащие составляющих находим те члены в выражении для которые зависят от

Окончательно получаем

где моменты инерции тела относительно осей координат.

В приложениях при пользовании теоремой § 13.2 за начало координат обычно выбирают центр тяжести тела (если только тело не имеет одной неподвижной точки). Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) Однородный твердый шар, куб либо вообще любое тело, эллипсоид инерции которого в точке О представляет сферу. В этом случае и движение системы координат может быть взято произвольно, независимо от движения тела. Функция Гиббса (для движения относительно точки О) имеет вид

2) Тело вращения, например однородный прямой цилиндр или вращающийся волчок, для которого Ось системы координат все время должна быть направлена вдоль оси симметрии; тогда но, вообще говоря, В этом случае

и (13.4.8) принимает вид

где некоторые несущественные члены мы опустили.

Иногда бывает удобно этот результат представить в другой форме. Для точки находящейся на оси симметрии на единичном расстоянии от точки О,

скорость и ускорение равны

и мы можем написать

где , а через обозначен вектор т. е. вектор с составляющими Можно также написать следующее выражение для

3) В общем случае, когда различны, следует пользоваться системой координат, связанной с телом, с осями вдоль главных осей инерции тела и с началом в центре тяжести О. В этом случае следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление