Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XI. ПЕРЕМЕННАЯ МАССА

§ 11.1. Частица переменной массы. Функция Лагранжа.

В специальной теории относительности масса частицы считается переменной, зависящей от скорости частицы. Если масса частицы в состоянии покоя равна та, то при движении со скоростью ее масса будет определяться выражением

где с — скорость света. В большей части практических случаев отношение мало и можно считать равным Отличие становится заметным лишь тогда, когда приближается к единице: при

Поэтому необходимо исследовать, какие изменения претерпит развитая ранее теория, если массу частицы считать функцией скорости: Теоретически нет необходимости требовать, чтобы функция была одной и той же для всех частиц, хотя обычно в приложениях зависимость принимается в виде (11.1.1) для всех частиц.

В случае точки переменной массы второй закон Ньютона записывают в форме произведение массы на ускорение заменяют производной от импульса. Логические основания для такой замены даются теорией относительности. Первое, что бросается в глаза, это то, что в общем случае направление ускорения не совпадает с направлением силы. В самом деле,

Уравнения движения свободной частицы в неподвижных прямоугольных осях координат имеют вид

Рассмотрим систему частиц переменной массы. В обозначениях § 2.2 уравнения движения (2.2.12) заменятся следующими:

Для произвольного виртуального перемещения имеем

Основное уравнение (3.1.1) запишется теперь в виде

Если массы частиц постоянны, то уравнение (11.1.4) принимает, разумеется, форму (3.1.1).

Рассмотрим теперь голономиую консервативную систему с степенями свободы. Введем лагранжевы координаты Соотношение и уравнение (11.1.4), справедливое для любой системы значений позволяют написать следующие уравнения:

Применим к ним преобразование § 6.1. Для этого воспользуемся доказанными ранее леммами, а именно:

С помощью этих лемм уравнения (11.1.5) можно записать в форме

или

Мы пишем символ поскольку суммирование производим по частицам, а не по координатам. Это удобнее, так как масса каждой частицы зависит от ее скорости.

Введем функцию

или, точнее.

Уравнения (11.1.7) тогда запишутся в виде

Уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. если положить

Отметим, что в общем случае не является квадратичной формой от как ото имело место в случае постоянных масс.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление