Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10.15. Главный триэдр.

Рассмотрим снова движение механической системы относительно подвижной системы отсчета F (§ 10.7). Обсуждаемый здесь вопрос не затрагивался нами в § 10.7, так как это увело бы изложение далеко в сторону. Будем пользоваться обозначениями § 10.7. Обозначим через кажущийся импульс:

а через кажущийся момент количеств движения:

Таким образом, это импульс и момент количеств движения системы, какими они представляются для наблюдателя, находящегося в системе

Систему можно выбрать так, чтобы Тогда для любой системы, неподвижной относительно также будем иметь

Для доказательства, что подвижную систему можно выбрать так, чтобы заметим прежде всего, что условие будет выполнено, если выбрать систему отсчета так, чтобы центр тяжести находился относительно нее в покое. Проще всего взять точку за начало подвижной системы координат. Тогда составляющая истинного момента количеств движения (в отличие от кажущегося момента количеств движения будет иметь следующий вид:

где осевые и центробежные моменты инерции системы в рассматриваемый момент времени. Равенство поэтому возможно лишь тогда, когда

Эта система уравнений имеет единственное решение так как определитель из коэффициентов отличен от нуля; эти коэффициенты определяют эллипсоид инерции всей системы.

Таким образом, хотя частицы системы совершают движение относительно «неподвижной» системы отсчета можно указать такую подвижную систему отсчета в которой все время будут равны нулю. Эту систему назовем главным триэдром.

Если есть главный триэдр и начало подвижной системы отсчета выбрано в точке то формула (10.7.8) запишется в виде

и будет представлять обобщение теоремы Кёнига. Мы видим, что Взяв произвольную (не обязательно ньютоновскую) систему отсчета можно показать, что для главного триэдра значение меньше, чем для любой другой системы отсчета. Таким образом, главный триэдр представляет систему отсчета, в которой кажущаяся кинетическая энергия имеет наименьшее возможное значение.

Ньютоновская космология основана на концепции абсолютного пространства, евклидова по своей структуре, абсолютного времени и неподвижной в пространстве системы отсчета. Оставаясь в рамках этих понятий, можно в качестве системы отсчета

взять главный триэдр для всей материальной Вселенной. Если Вселенную считать состоящей из некоторого числа массивных удаленных звезд, взаимное расположение которых остается неизменным, и некоторого числа солнечных систем и комет, то звезды относительно главного триэдра будут находиться почти в покое, поскольку главный триэдр обеспечивает наименьшее возможное значение кинетической энергии. Таким образом, в этой системе звезды оказываются неподвижными.

Интересно теперь попробовать отказаться от ньютоновской системы отсчета как независимой гипотезы и отождествить ее с главным триэдром для всей материальной Вселенной. Если это сделать, то третий закон Ньютона окажется следствием второго закона, а не независимым утверждением. В самом деле, рассмотрим некоторую материальную систему, совершающую движение, и отнесем ее движение к триэдру, жестко связанному с главным триэдром. Тогда из условий получим

Считая второй закон Ньютона справедливым, приходим к выводу, что система всех действующих на частицы сил эквивалентна нулю (если бы частицы составляли твердое тело, то это тело находилось бы в равновесии). Система сил, состоящая из равных по величине и противоположно направленных сил, приложенных к каждым двум частицам (действующих вдоль прямой, их соединяющей), очевидно, эквивалентна нулю. И обратно, любую систему сил, эквивалентную нулю, можно представить в виде совокупности пар равных по величине и противоположно направленных сил (если только все частицы системы не расположены вдоль одной прямой, что мы исключаем). Чтобы убедиться в этом, следует сначала рассмотреть случай трех (не лежащих на одной прямой) частиц и затем провести доказательство методом индукции. Пусть имеется произвольная система как угодно движущихся частиц. Выберем главный триэдр в качестве системы отсчета. Если принять, что второй закон Ньютона справедлив, то третий (закон равенства действия и противодействия) отсюда получается как следствие.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление