Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10.14. Уравнение энергии и явное выражение для Н.

Для голономной консервативной системы функция в самом общем случае зависит от хотя в большей части конкретных примеров t отсутствует. Полная производная от по t равна

и в силу уравнений Гамильтона

Таким образом, если не зависит явно от то эта функция сохраняет постоянное значение во все время движения:

Этот результат есть не что иное, как интеграл Якоби (§ 6.7). (Напомним, что если не зависит явно от то и не зависит явно от и наоборот.)

Получим теперь явное выражение для функции Для натуральной системы

и

так что совпадает с полной энергией причем выражено через вместо Поскольку

находим, что

где, как и в § 10.4, обозначает матрицу, обратную матрице . Учитывая, что напишем явное выражение для в следующей форме:

Переход в функции от производится аналогично тому, как осуществляется переход от точечных координат к линейным в уравнении конического сечения в однородных координатах. Кроме того, можно выразить через с помощью уравнения

Определитель размером равен нулю, так как, умножая столбец на и суммируя от до мы получаем последний столбец. Разлагая определитель, находим явное выражение для в виде квадратичной формы от

Особый интерес представляет простой частный случай, когда система отнесена к ортогональным координатам; при этом матрица диагональна. Если

то

и

Мы видим, что в этом случае выражение для составляется сразу.

Рассмотрим теперь более общий случай ненатуральной системы

В этом случае, как и в § 6.8, можем написать

и равно выражению в котором заменены на Полагая, согласно формулам (6.1.6) и (6.1.7),

находим

и

Поэтому

и выражение для II записывается в следующей окончательной форме:

Таким образом, функция представляется в виде суммы где форма степени относительно Опуская для краткости знак суммы, можем написать

В качестве примера рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в поле механических и электромагнитных сил. Согласно (10.6.18)

где скалярный потенциал, а векторный потенциал электромагнитного поля. В обозначениях (6.10.4) имеем

и два аналогичных уравнения. Выражение для имеет вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление