Главная > Разное > Аналитическая динамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10.12. Гироскопическая система с диссипацией.

Рассмотрим голономную систему с степенями свободы, в которой первых лагранжевых координат являются циклическими. Предположим, что система обладает диссипацией типа Релея, влияющей только на явные координаты, так что

где коэффициенты зависят от Первые уравнений Лагранжа дают

Составляем функцию Рауса, для чего выражаем через (см. § 10.1). С помощью уравнений (10.11.7) уравнения движения в явных координатах можно записать в виде

Примером системы такого рода может служить система, содержащая гироскопы с подшипниками без трения, когда движение платформы, на которой укреплен гироскоп, испытывает трение релеевского типа.

Рассмотрим теперь проблему гироскопической устойчивости и выясним, каково влияние диссипации по явным координатам. Если V, как функция от явных координат, имеет в положении равновесия минимум, то диссипация, как и следовало ожидать, повышает устойчивость. В общем случае мы имеем асимптотическую устойчивость по явным координатам. Если же V имеет максимум в положении равновесия, то дело обстоит иначе. Даже тогда, когда при отсутствии диссипации имеет место устойчивость для достаточно больших значений (§ 10.3), введение диссипации вызывает неустойчивость.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим снова задачу о спящем волчке и предположим, что имеется пара сил трения с моментом препятствующим вращению оси волчка и пропорциональным угловой скорости со. Будем считать, что к постоянно и не зависит от положения оси. Диссипативная функция имеет вид

или, приближенно,

причем направляющие косинусы оси выбраны равными ( как в § 9.9. Допустим на минуту, что малы (фактически это не выполняется). Уравнения движения будут иметь вид (см. (9.9.1))

где Полагая, как и ранее, получаем

Даже если считать, что (вместо ), то окажется, что вертикальное положение оси волчка неустойчиво. Решение содержит слагаемые

где и одно слагаемое имеет множитель Сделанное ранее предположение о том, что ось волчка остается вблизи направленной вверх вертикали, не выполняется, и вертикальное положение оси является неустойчивым. (Как уже отмечалось, линейное приближение оказывается

достаточным для установления неустойчивости, тогда как в противоположном случае, когда остается малым, устойчивость не может быть гарантирована на основании линейного приближения.) Значения определяются формулами

и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление