14-9. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ (СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ)

Непрерывная случайная функция времени, определенная для дискретных значений аргумента, дает дискретную случайную функцию. Воздействие непрерывной случайной функции на импульсный элемент или на импульсную систему также приводит к понятию дискретной случайной функции. Между теориями непрерывных и дискретных случайных функций существует аналогия. Все основные понятия теорий непрерывных случайных функций них свойства справедливы и для дискретных случайных функций. Так, например, среднее по времени случайной последовательности

Для стационарных процессов среднее по времени равно среднему по множеству. Аналогично определяется корреляционная функция стационарной случайной функции

При получаем:

где математическое ожидание или среднее значение квадрата случайной функции. Если то представляет собой дисперсию случайной функции.

Взаимная корреляционная функция характеризует связь двух эргодических случайных последовательностей

Корреляционная функция двусторонняя дискретная четная функция аргумента (рис. 14-26,а). Она удовлетворяет условиям абсолютной интегрируемости, и следовательно, имеет спектр в виде вещественной функции, который называется спектральной плотностью (рис. В соответствии с (14-106)

По известной спектральной плотности определяется корреляционная функция

откуда при

В отличие от спектральной плотности непрерывных функций периодическая функция частоты Период функции равен . В качестве примера на рис. 14-26 приведена корреляционная функция и соответствующая ей спектральная плотность

Абсолютно случайный процесс, или белый шум, характеризуется отсутствием всякой связи или корреляции Между отдельными членами случайной последовательности. Для такого процесса

и

что возможно только при постоянной спектральной плотности Таким образом, для белого шума

Корреляционная функция представляет собой одну ординату при спектральная плотность — постоянную величину (рис. 4-27,а и б).

При белом шуме представления для непрерывного и дискретного процессов совпадают.

Рис. 14-26. Корреляционная функция (а) и спектральная плотность (б).

Рис. 14-27. Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума.

Воздействие на вход импульсной системы случайного стационарного сигнала вызывает на выходе при со также стационарный случайный сигнал Между спектральной плотностью входного сигнала и спектральной плотностью выходного сигнала существует известная связь:

Отсюда в соответствии с (14-119) получаем среднее значение квадрата выходной величины

Функцию можно представить в виде т. е. в виде квадрата модуля амплитудно-фазовой характеристики некоторой эквивалентной дискретной системы, и тогда вычислить по коэффициентам передаточной функции Если белый шум со спектральной плотностью

В заключение отметим, что приведенные формулы справедливы для ограниченных последовательностей коэффициентов веса, т. е., например, для последовательностей вида: