12-3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

Рассогласование равное разности фактического и заданного значений выходной (величины, характеризует точность работы системы регулирования.

Если на систему регулирования, помимо управляющего воздействия (заданного значения регулируемой величины), действуют другие возмущающие силы помехи, отличные по своим характеристикам от управляющего воздействия, то в большинстве случаев существует такая определенная структура (и значения параметров) линейной системы, при которой имеют место наилучшие статистические показатели точности регулирования. Система с указанными структурой и параметрами называется оптимальной. Отметим, что, (помимо понятия оптимальности в указанном статистическом смысле, используются и другие понятия оптимальности, в частности понятие оптимальности одиночного переходного процесса. Вопросы построения нелинейных систем с оптимальным переходным процессом образуют самостоятельную широкую область.

Задачи определения и реализации оптимальной системы составляют один из основных разделов синтеза систем регулирования. Необходимо подчеркнуть, что в зависимости от ограничений, накладываемых на структуру и параметры синтезируемой системы, а также в зависимости от критерия точности возможны самые различные решения задачи определения оптимальной системы.

Так, например, если структура системы, включая конкретный вид всех передаточные функций, задана и в качестве критерия точности принята среднеквадратичная ошибка то задача сводится к выбору значений одного или нескольких параметров системы, при которых минимальна. Если же на передаточные функции не накладывается никаких ограничений, кроме, быть может, самых общих условий физической реализуемости, то задача Синтеза состоит в определении самой структуры передаточных функций и соответствующей структуры системы из условия максимальной точности. Кроме того, возможно множество промежуточных случаев, отличающихся дополнительными условиями.

В виду многообразия в постановке задачи оптимальной фильтрации и возможных методах ее решения в отечественной и зарубежной литературе существует большое число работ, посвященных указанной проблеме. Однако большая часть предложенных решений и методов еще недостаточно эффективна для практического использования. Поэтому мы ограничимся весьма кратким изложением некоторых элементов теории оптимальных систем. Добавим, что развитие нового направления в технике автоматического регулирования — самонастраивающихся систем расширяет задачи теории оптимальных систем.

а) Определение оптимальных значений параметров при фиксированной структуре системы

Задача выбора параметров системы с заданной структурной схемой встречается на практике весьма часто. Решение подобной задачи при различных оценках качества процессов регулирования уже излагалось в предыдущих главах и будет рассматриваться в гл. 13.

Здесь ограничимся случаем, когда полезный сигнал (управляющее воздействие) и помеха -случайные стационарные функции, приложенные к одной точке системы. Критерием точности является среднеквадратичная ошибка а система линейна, стационарна, с сосредоточенными параметрами.

Задача ставится так. Зная спектральные плотности управляющего воздействия и помехи, вид дробно-рациональной передаточной функции систему установить зависимость среднего квадрата ошибки от параметров системы и найти условия минимума (если таковые существуют).

Записываем уравнение для отклонения:

В соответствии с формулами (12-18) и (12-30)

Для систем высокого порядка интеграл в правой части вычисляется численным или графическим способом, причем для определения зависимости от параметров системы и нахождения оптимальных значений этих параметров приходится определять для нескольких или многих значений параметров.

Для систем невысоких порядков и спектральных плотностей, аппроксимируемых простыми дробно-рациональными функциями, используется аналитическое выражение Так, если управляющее воздействие и помеха статистически независимы

и

где амплитудные частотные характеристики формирующих фильтров; спектральные плотности белого шума, то

Интегралы

равны интегральным квадратичным оценкам импульсных переходных функций, соответствующих передаточным функциям

Чтобы убедиться в правильноеги последнего утверждения, достаточно сопоставить формулы Таким образом,

Интегральные квадратичные оценки импульсных переходных функций определяются формулой (10-04) или Для иллюстрации аналитического метода определения оптимальных значений параметров рассмотрим следующий пример.

Определить постоянную времени инерционного звена

из условия минимума среднеквадратичной ошибки воспроизведения стационарного случайного управляющего (воздействия со спектральной плотностью

при наличии на входе белого шуйа со спектральной плотностью

По условиям задачи

Таким образом,

В обеих полученных передаточных функциях порядок числителя лишь на единицу ниже порядка знаменателя, поэтому для вычисления интегральных оценок импульсных переходных функций следует применить формулу (110-95). Согласно этой формуле

Таким образом,

Анализируя полученное выражение, легко установить, что при

средний квадрат ошибки имеет минимум при положительной постоянной времени инерционного звена

Если уровень шума велик, так что спектральная плотность приближается к отектральной плотности полезного сигнала, то оптимальное значение постоянной времени возрастает. При низком уровне шума