9-6. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ДИАГРАММЫ ВЫШНЕГРАДСКОГО
а) Постановка вопроса
Под параметрами системы понимают постоянные времени, коэффициенты усиления отдельных звеньев, коэффициенты обратных связей, коэффициенты характеристических уравнений и т. п. Часть из этих параметров может быть неизменна, часть же может варьироваться с целью, например, обеспечения устойчивости
Критерии устойчивости три заданных численных значениях параметров системы позволяют установить факт устойчивости или неустойчивости системы, а также указать направления изменения (параметров и структуры системы для обеспечения устойчивости.
Однако во многих случаях целесообразно указать все возможные значения (варьируемых параметров, при которых система устойчива. Если система имеет
варьируемых параметров, то можно говорить об
-мерном пространстве параметров. Каждой точке этого пространства будет соответствовать характеристический многочлен со своими значениями коэффициентов. В пространстве параметров можно найти такую область, внутри которой каждой точке будет соответствовать характеристический многочлен Гурвица, т. е. многочлен, все нули которого лежат слева от мнимой оси комплексной плоскости. Область в пространстве параметров, каждаяточка которой
определяет многочлен Гурвица, называется областью устойчивости. Кроме области устойчивости могут существовать области с другим распределением нулей.
Неймарк
назвал области в пространстве параметров областями
а само разбиение пространства параметров на области с различным распределением нулей - D-pазбиением. Если в данной области все множество многочленов степени
имеет
нулей в правой полуплоскости, то такая область обозначается
Область устойчивости будет иметь обозначение
Пространство параметров, разбитое на области
представляет собой диаграмму, которая получила наименование диаграммы Вышнеградского. Вышегр адский впервые поставил вопрос о выделении областей устойчивости и построил соответствующую диаграмму для системы регулирования хода машины в плоскости двух обобщенных параметров. Работы Вышнеградского были продолжены советскими учеными.
В 1940 г. А. А. Соколов [Л. 9-5] дал метод выделения областей устойчивости.
В 1948-1950 гг. метод Вышнеградского и работы А. А. Соколова были развиты и обобщены Ю. И. Неймарком.
Обычно не берется более двух,
берется плоскость каких-либо двух параметров системы и в ней выделяется область устойчивости. Пространственные построения при
оказываются весьма сложными и ненаглядными, а поэтому мало применяются.
Прежде чем переходить к описанию общего приема D-разбиения плоскости параметров, рассмотрим задачу Вышнегр адского и диаграмму, которая была им построена. Процесс регулирования скорости машины при определенных допущениях можно описать линейным уравнением третьего порядка с характеристическим многочленам
После деления, на
характеристическое уравнение записывается в виде:
где
— безразмерные параметры, получившие наименование параметров Вышеградокого.
По аналогии с колебательной системой второго порядка
называется собственной частотой колебаний, несмотря на то, что это название в общем случае не отражает какого-либо физического смысла.
Уравнение системы можно выразить в безразмерном времени
Изменение масштаба времени изменяет и масштаб параметра
Безразмерному времени
соответствует безразмерный же параметр
связанный с
соотношением
Подставив (9-24) в (9-23), получим характеристическое уравнение в форме Вышеградского
Применяя критерий Гурвица, найдем условие устойчивости:
Когда
система оказывается на границе устойчивости. Выражение (19-27) можно рассматривать как уравнение кривой (гиперболы), разбивающей плоскость с координатами
] на две области: область устойчивости и область неустойчивости (рис. 9-13). В соответствии с неравенством (9-26) область устойчивости лежит выше и правее гиперболы; область неустойчивости — левее и ниже ее.
Рис. 9-13. Диаграмма Вышнеградского.