9-6. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ДИАГРАММЫ ВЫШНЕГРАДСКОГО

а) Постановка вопроса

Под параметрами системы понимают постоянные времени, коэффициенты усиления отдельных звеньев, коэффициенты обратных связей, коэффициенты характеристических уравнений и т. п. Часть из этих параметров может быть неизменна, часть же может варьироваться с целью, например, обеспечения устойчивости

Критерии устойчивости три заданных численных значениях параметров системы позволяют установить факт устойчивости или неустойчивости системы, а также указать направления изменения (параметров и структуры системы для обеспечения устойчивости.

Однако во многих случаях целесообразно указать все возможные значения (варьируемых параметров, при которых система устойчива. Если система имеет варьируемых параметров, то можно говорить об -мерном пространстве параметров. Каждой точке этого пространства будет соответствовать характеристический многочлен со своими значениями коэффициентов. В пространстве параметров можно найти такую область, внутри которой каждой точке будет соответствовать характеристический многочлен Гурвица, т. е. многочлен, все нули которого лежат слева от мнимой оси комплексной плоскости. Область в пространстве параметров, каждаяточка которой

определяет многочлен Гурвица, называется областью устойчивости. Кроме области устойчивости могут существовать области с другим распределением нулей. Неймарк назвал области в пространстве параметров областями а само разбиение пространства параметров на области с различным распределением нулей - D-pазбиением. Если в данной области все множество многочленов степени имеет нулей в правой полуплоскости, то такая область обозначается Область устойчивости будет иметь обозначение Пространство параметров, разбитое на области представляет собой диаграмму, которая получила наименование диаграммы Вышнеградского. Вышегр адский впервые поставил вопрос о выделении областей устойчивости и построил соответствующую диаграмму для системы регулирования хода машины в плоскости двух обобщенных параметров. Работы Вышнеградского были продолжены советскими учеными.

В 1940 г. А. А. Соколов [Л. 9-5] дал метод выделения областей устойчивости.

В 1948-1950 гг. метод Вышнеградского и работы А. А. Соколова были развиты и обобщены Ю. И. Неймарком.

Обычно не берется более двух, берется плоскость каких-либо двух параметров системы и в ней выделяется область устойчивости. Пространственные построения при оказываются весьма сложными и ненаглядными, а поэтому мало применяются.

Прежде чем переходить к описанию общего приема D-разбиения плоскости параметров, рассмотрим задачу Вышнегр адского и диаграмму, которая была им построена. Процесс регулирования скорости машины при определенных допущениях можно описать линейным уравнением третьего порядка с характеристическим многочленам

После деления, на характеристическое уравнение записывается в виде:

где

— безразмерные параметры, получившие наименование параметров Вышеградокого.

По аналогии с колебательной системой второго порядка называется собственной частотой колебаний, несмотря на то, что это название в общем случае не отражает какого-либо физического смысла.

Уравнение системы можно выразить в безразмерном времени Изменение масштаба времени изменяет и масштаб параметра Безразмерному времени соответствует безразмерный же параметр связанный с соотношением

Подставив (9-24) в (9-23), получим характеристическое уравнение в форме Вышеградского

Применяя критерий Гурвица, найдем условие устойчивости:

Когда

система оказывается на границе устойчивости. Выражение (19-27) можно рассматривать как уравнение кривой (гиперболы), разбивающей плоскость с координатами ] на две области: область устойчивости и область неустойчивости (рис. 9-13). В соответствии с неравенством (9-26) область устойчивости лежит выше и правее гиперболы; область неустойчивости — левее и ниже ее.

Рис. 9-13. Диаграмма Вышнеградского.