9-3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

A. В. Михайлов (Всесоюзный электротехнический институт имени В. И. Ленина) был, видимо, первым, кто предложил использовать развитые в электротехнике и радиотехнике частотные методы для исследования рабочих процессов в системах автоматического регулирования. В 1938 г. он предложил, критерий устойчивости, который был назван его именем. Рассмотрим существо критерия. Из характеристического многочлена комплексного аргумента образуется такая же функция мнимого аргумента

где

Многочлен будет многочленом Гурвица (т. е. исследуемая система устойчива), если полное приращение фазы или аргумента при изменении от до равно где степень многочлена

Если полное приращение фазы или аргумента окажется меньше то система неустойчива.

Для доказательства критерия Михайлова необходимо уточнить понятия о фазе о полном приращении фазы и происшедшем в результате изменения со от до а также рассмотреть с этой точки зрения передаточные функции некоторых идеальных форсирующих звеньев:

1. Звено вида Нуль передаточной функции находится в левой полуплоскости. Из годографа амплитудно-фазовой характеристики этого звена (рис. 9-1,а) видно, что

2. Звено вида Оба нуля этого звена находятся в левой полуплоскости. Годограф амплитудно-фазовой характеристики показывает (рис. что

3. Звено вида Нуль передаточной функции этого звена расположен в правой полуплоскости. Фазовая характеристика (годограф см. рис. 9-1,в). Приращение фазы в этом случае не равно фазе

4. Звено Оба нуля передаточной функции

Рис. 9-1. Годографы амплитудно-фазовых характеристик идеальных форсирующих звеньев.

расположены в правой части комплексной плоскости (годограф см. рис. 9-1,г). Приращение фазы и фаза

После сделанных замечаний сформулированное условие устойчивости

почти очевидно. В самом деле, характеристический полином устойчивой системы можно представить как произведение форсирующих звеньев первого и второго порядков, нули передаточных функций которых расположены в левой полуплоскости,

где число звеньев первого порядка; I — число звеньев второго порядка с комплексными нулями; при этом степень полинома

В соответствии с (9-14) фаза или аргумент записывается в виде

где

Из (9-15) непосредственно вытекает что если полином Гурвица то полное приращение аргумента

Если система неустойчива, то часть нулей находится в правой полуплоскости, и, следовательно

Если из всех нулей нулей находится справа от мнимой оси» то полное приращение аргумента будет равно;

Для подсчета полного приращения аргумента вычисляется и строится годограф Этот годограф получил название годографа Михайлова. На рис. 9-2 построены годографы устойчивых систем для (кривые I, II, III, IV, V и VI). Как видно, в случае устойчивых систем годограф Михайлова по мере возрастания частоты от до проходит против часовой стрелки последовательно квадрантов комплексной плоскости, что и соответствует

На рис. 9-3 показан годограф Михайлова, неустойчивой системы шестого, порядка. Последовательность обхода (квадрантов нарушена. Годограф из первого квадранта, минуя второй, попадает в третий. Подсчитаем полное приращение аргумента, равное сумме приращений аргументов за каждый квадрант:

Рис. 9-2. Годографы Михайлова устойчивых систем (порядок уравнений

где приращение аргумента в квадранте.

В данном случае Отсюда

Рис. 9-3. Годограф Михайлова неустойчивой системы шестого порядка

Пользуясь выражением (9-16), можно определить число корней находящихся в правой полуплоскости,

Для рассмотренного случая